브링 근호

브링 근호(Bring radical) 또는 초근호(Ultraradical)[1]는 특수함수의 일종으로,

\mathrm{BR}(x)

로 표기한다. 오차 방정식(Quintic equation)

x^5+x+a=0

의 실근을

\mathrm{BR}(a)

로 표기한다.

\mathrm{BR}(x)

의 정의는 다음과 같다.

\mathrm{BR}(x) = -x \cdot {}_4{F}_3 \left(\dfrac{1}{5},\,\dfrac{2}{5},\,\dfrac{3}{5},\,\dfrac{4}{5};\,\dfrac{1}{2},\,\dfrac{3}{4},\,\dfrac{5}{4};\,-5\left(\dfrac{5x}{4}\right)^4\right)

여기서

{}_4{F}_3

은 초기하함수이다. 해당 함수의 그래프는 아래와 같다.

파일:브링근호_그래프_NeW.png

테일러 급수로 전개하면 다음과 같다.

\displaystyle \mathrm{BR}(-x) = \sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{5k}{k}\frac{(-1)^{k} x^{4k+1}}{4x+1}

여기서

\binom{5k}{k}

는 조합이다.

원점 대칭인 홀함수 [2]로, 다음이 성립한다.

\mathrm{BR}(x) = -\mathrm{BR}(-x)

주 활용처는 5차 이상의 고차방정식의 풀이로, 닐스 헨리크 아벨이 5차 방정식의 일반해를 구할 수 없다고 증명한 이래 뭇 수학자들이 여러 연구를 통해 찾아낸 것이다.

울프럼알파에서는

\mathrm{BR}

대신 5를 변형한 듯한 모양의 근호를 독자적으로 만들어 쓰는 듯하다.

도함수는 역함수의 미분법 또는 음함수의 미분법을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\mathrm{BR}(x) =- \dfrac{1}{5[ \mathrm{BR}(x) ]^4+1}

[증명]

해당 함수의 정의에 따라

y^5 + y + x=0

이다. 음함수의 미분법을 써 양변을 미분하면

\begin{aligned} 5y^4 \dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x} + \dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x} + 1&=0 \\ (5y^4+1)\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}&=-1 \\ \\ \therefore \dfrac{\mathrm d}{\mathrm {d} x}\mathrm{BR}(x)&=-\dfrac{1}{5y^4 +1}\\&=-\dfrac{1}{5[\mathrm{BR}(x) ]^4+1} \end{aligned}

[1] 공식 역어는 아니다. 이렇게 표현한 이유는 이미 초제곱근이라고 불리는 함수(

\sqrt{x}_s = e^{(W \circ\,\ln)(x)}

,테트레이션의 역함수)가 따로 있기 때문이다. 여기서

W

W

함수이다.[2] 일반적인 홀함수와는 달리

x > 0

인 경우

\mathrm{BR}(x) < 0

,

x < 0

인 경우

\mathrm{BR}(x) > 0

이다.